HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. Các kiến thức cần nhớ

Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a0).a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).
Nếu là hai nghiệm của phương trình thì

Ví dụ: Phương trình nên phương trình có hai nghiệm .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Xét phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a0).a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).

 Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm là nghiệm kia là

Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm là nghiệm kia là

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng SS và tích bằng PP thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2-SX+P=0{X^2} - SX + P = 0 (ĐK: S24P{S^2} \ge 4P)

Ví dụ: 

+ Phương trình nên có hai nghiệm

+ Phương trình nên có hai nghiệm

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : a0Δ 0\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S=x1+x2= -baP=x1x2=ca.

Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1+x2{x_1} + {x_2} và tích x1x2{x_1}{x_2}, sau đó áp dụng bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :

+) A=x12+x22=x1+x22-2x1x2=S2-2PA = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}= {S^2} - 2P

+) B=x13+x23B = x_1^3 + x_2^3

=x1+x23-3x1x2x1+x2=S3-3SP= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)= {S^3} - 3SP

+) C=x14+x24=x12+x222-2x12x22C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2

=x1+x22-2x1x22-2x1x22=S2-2P2-2P2= {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}= {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}

+) D=x1-x2D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|

=x1+x22-4x1x2= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} .

+) E=x1-x22=x1+x22-4x1x2E = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}

=S2-4P= {S^2} - 4P .

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0a0a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).

+) Nếu phương trình có a+b+c=0a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1=1{x_1} = 1, nghiệm kia là x2=ca.{x_2} = \dfrac{c}{a}.

+ ) Nếu phương trình có a-b+c=0a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1= -1{x_1} =  - 1, nghiệm kia là x2= -ca.{x_2} =  - \dfrac{c}{a}.

+) Nếu x1,x2{x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình thì S=x1+x2= -baP=x1x2=ca\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+ca0a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right) có hai nghiệm x1{x_1}x2{x_2} thì nó được phân tích thành nhân tử: ax2+bx+c=ax-x1x-x2a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right).

Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp :

Để tìm hai số x,yx,y khi biết tổng S=x+yS = x + y và tích P=xyP = xy, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện S24P{S^2} \ge 4P. Giải phương trình X2-SX+P=0{X^2} - SX + P = 0 để tìm các nghiệm X1,X2{X_1},{X_2}.

Bước 2: Khi đó các số cần tìm x,yx,yx=X1,y=X2x = {X_1},y = {X_2} hoặc x=X2,y=X1x = {X_2},y = {X_1}.

Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình . Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu .

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu .

3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt .

4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt .

5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương .

Dạng 6 : Xác  định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0a0a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).

+) Nếu phương trình có a+b+c=0a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1=1{x_1} = 1, nghiệm kia là x2=ca.{x_2} = \dfrac{c}{a}.

+ ) Nếu phương trình có a-b+c=0a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1= -1{x_1} =  - 1, nghiệm kia là x2= -ca.{x_2} =  - \dfrac{c}{a}.

+) Nếu x1,x2{x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình thì S=x1+x2= -baP=x1x2=ca\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+ca0a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right) có hai nghiệm x1{x_1}x2{x_2} thì nó được phân tích thành nhân tử: ax2+bx+c=ax-x1x-x2a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right).

Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp :

Để tìm hai số x,yx,y khi biết tổng S=x+yS = x + y và tích P=xyP = xy, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện S24P{S^2} \ge 4P. Giải phương trình X2-SX+P=0{X^2} - SX + P = 0 để tìm các nghiệm X1,X2{X_1},{X_2}.

Bước 2: Khi đó các số cần tìm x,yx,yx=X1,y=X2x = {X_1},y = {X_2} hoặc x=X2,y=X1x = {X_2},y = {X_1}.

Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình . Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu .

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu .

3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt .

4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt .

5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương .

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.