SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên ( có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu

- Hàm số được gọi là nghịch biến trên nếu .

Định lý:

Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên

a) Nếu thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu thì hàm số nghịch biến trên

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số có đạo hàm trên

a) Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 

Ta có  nên hàm số đã cho đồng biến trên 

 nên hàm số đã cho nghịch biến trên 

Một số trường hợp đặc biệt:

 

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên ≥ 0, tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=fxy = f\left( x \right) nghịch biến trên R⇔y'=f'x⩽0,∀x∈RR \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in Ry'=0y' = 0 tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm mm.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên .

Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên

Cho hàm số fx=ax2+bx+ca≠0f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right). Khi đó:

fx ≥ 0, ∀x∈R ⇔a >0∆≤0fx ≤ 0, ∀x∈R ⇔a <0∆≤0

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=fxy = f\left( x \right) đồng biến trên D⇔y'=f'x⩾0,∀x∈DD \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D.

+ Hàm số y=fxy = f\left( x \right) nghịch biến trên D⇔y'=f'x⩽0,∀x∈DD \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm mm.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút mm theo xx sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: m⩾gx,∀x∈Dm \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D hoặc m⩽gx,∀x∈Dm \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=gxy = g\left( x \right) trên DD.

- Kết luận: 

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

- Bước 1: Tính .

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên

+ Hàm số nghịch biến trên

- Bước 3: Kết luận.

1 Response

  1. phlongdb03 viết:

    LongBT4

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.