PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Kiến thức cần nhớ

– Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là:

\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\)     (1)

 hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)    (2)

Phương trình (2) có tâm \(I\left( { – a; – b; – c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} \).

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

– Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

– Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { – a; – b; – c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} \).

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

– Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo các dạng vừa nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

– Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

– Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\).

Một số bài toán hay gặp:

– Viết phương trình mặt cầu tâm và bán kính đã cho.

– Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

– Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\):

+) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\).

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

– Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

You may also like...

1 Response

  1. duongtuananh viết:

    mục 1 nên tách ra như dạng 1 của mục 2 để không gây hiểu nhầm

Trả lời