PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ THAM SỐ ĐỐI VỚI MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

+ Hàm số không có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y’ = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  \le 0\).

– Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị.
 
Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có \(1\) điểm cực trị nếu phương trình \(y’ = 0\) có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có \(3\) điểm cực trị nếu phương trình \(y’ = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

– Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \(1\) điểm cực trị hoặc có \(3\) điểm cực trị.

+ Trường hợp có \(1\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0\).

+ Trường hợp có \(3\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0;x =  – \sqrt { – \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { – \dfrac{b}{{2a}}} \)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’,y”\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số:

+ \(x = {x_0}\) là điểm cực đại nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

+ \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

\( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

\( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

\( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

\( \Leftrightarrow y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\) và tìm \(m\).

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) .

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước

\( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \)

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

\( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\)

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 6: Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’\).

– Bước 2: Lấy \(y\) chia \(y’\) ta được đa thức dư \(g\left( x \right) = mx + n\).

Bước 3: Kết luận: \(y = mx + n\) là đường thẳng cần tìm.


CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 3. Phương pháp giải bài toán cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản

Bài 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 6. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm đa thức bậc ba)

Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức (hàm bậc bốn trùng phương)

Bài 9. Một số bài toán về khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm phân thức hữu tỷ)

Bài 11. Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Bài 12. Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị

Bài 13. Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong

Ôn tập chương 1

You may also like...

1 Response

  1. duongtuananh viết:

    dạng 2 nên nêu thêm điều kiện hàm trùng phương có một cực trị khi a.b>0 có 3 cực trị khi a.b<0
    dạng 4 nên thêm nhận xét là tam giác ABC luôn cân tại A
    dạng 3 nên nói thêm là x1,x2 là nghiệm có pt y'=0.

Trả lời