PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG

1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)\).

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right)\).

– Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’ = f’\left( x \right)\).

– Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của \(\left( C \right)\): \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

– Bước 3: Thay tọa độ \(\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) vào phương trình trên, giải phương trình tìm \({x_0}\).

– Bước 4: Thay mỗi giá trị \({x_0}\) tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc \(k\).

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’ = f’\left( x \right)\).

– Bước 2: Giải phương trình \(f’\left( x \right) = k\) tìm nghiệm \({x_1},{x_2},…\).

– Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm \(\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right),\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right),…\)

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’ = f’\left( x \right)\).

– Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của \(f’\left( x \right)\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà \(f’\left( x \right)\) đạt GTNN, GTLN).

– Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.

a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

b) Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\).

+) Khi \(a > 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi \(a < 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc lớn nhất.

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(y’ = f’\left( x \right)\).

– Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc \(k = f’\left( x \right)\) với đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k’\).

+ Tiếp tuyến vuông góc \(d \Leftrightarrow k.k’ =  – 1\).

+ Tiếp tuyến song song với \(d \Leftrightarrow k = k’\).

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của \((C)\) với \(d\) bằng \(\alpha  \Leftrightarrow \tan \alpha  = \left| {\dfrac{{{k} – {k’}}}{{1 + {k}{k’}}}} \right|\)

– Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm \({x_1},{x_2},…\) và tọa độ các tiếp điểm.

– Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thuộc \(\left( C \right)\): \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

– Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_M} – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\) có nghiệm.

– Bước 3: Tìm điều kiện của \(m\) dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.

2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số

Cho \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và \(\left( {C’} \right):y = g\left( x \right)\).

Dạng 1: Xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(f’\left( x \right),g’\left( x \right)\).

– Bước 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).

– Bước 3: Kết luận:

+ Nếu hệ có nghiệm thì \(\left( C \right)\) và \(\left( {C’} \right)\) tiếp xúc.

+ Nếu hệ vô nghiệm thì \(\left( C \right)\) và \(\left( {C’} \right)\) không tiếp xúc.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(f’\left( x \right),g’\left( x \right)\).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:

\(\left( C \right)\) và \(\left( {C’} \right)\) tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

– Bước 3: Tìm \(m\) từ điều kiện trên và kết luận.


CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 3. Phương pháp giải bài toán cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản

Bài 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 6. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm đa thức bậc ba)

Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức (hàm bậc bốn trùng phương)

Bài 9. Một số bài toán về khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm phân thức hữu tỷ)

Bài 11. Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Bài 12. Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị

Bài 13. Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong

Ôn tập chương 1

You may also like...

2 Responses

  1. duongtuananh viết:

    dạng 6 chỗ bước 2 cái chỗ pt Ym nên viết rõ là phương trình ko nên viết tắt dễ gây hiểu nhầm

Trả lời