GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên miền $D$.

– Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $D$ nếu $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.$

Kí hiệu $M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)$ hoặc $M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)$

– Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $D$ nếu $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.$

Kí hiệu $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)$ hoặc $m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)$

Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y’$, giải phương trình $y’ = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},…{x_n}$ thỏa mãn $a \le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} \le b$

– Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$

– Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác đinh và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $f’\left( x \right)$, giải phương trình $y’ = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},…{x_n}$ thỏa mãn $a \le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} \le b$

– Bước 2: Tính các giá trị $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)$ và $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right);B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right)$

– Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là $A$ hoặc $B$ thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng $\left( {a;b} \right)$

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là $f\left( {{x_i}} \right),i \in \left\{ {1;2;…;n} \right\}$ thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng $f\left( {{x_i}} \right)$ khi $x = {x_i}$

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác đinh và liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của $y’$)

– Bước 1: Tính $y’$, giải phương trình $y’ = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},…{x_n}$

– Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$

– Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

– Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm $m$

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 3. Phương pháp giải bài toán cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản

Bài 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số