ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ LUYỆN TẬP

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa:

– Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y =  – \infty \end{array} \right.\)
– Tiệm cận ngang:

Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

– Tiệm cận xiên:

Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\) , trong đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\end{array} \right.\)

Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính cả hai giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y\).

– Bước 2: Kết luận:

Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hàm phân thức có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của đa thức tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức mẫu.

Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.

– Bước 2: Tính cả 2 giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y\).

– Bước 3: Kết luận:

Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y =  – \infty \end{array} \right.\) thì \(x = {x_0}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Ta chỉ cần 1 trong 4 điều kiện trên thỏa mãn là kết luận được.

+ Riêng đối với hàm phân thức thì \({x_0}\) thường là nghiệm của mẫu thức nhưng không là nghiệm của tử thức.

Dạng 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính cả hai giới hạn \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\)\(a’ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\).

– Bước 2: Nếu \(\left[ \begin{array}{l}a \ne 0; \pm \infty \\a’ \ne 0; \pm \infty \end{array} \right.\) thì tính \(\left[ \begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\\b’ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f\left( x \right) – a’x} \right]\end{array} \right.\)

– Bước 3: Kết luận: Nếu các giới hạn trên là hữu hạn thì \(y = ax + b\) và \(y = a’x + b’\) là các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức mẫu là 1.

Khi đó, để tìm tiệm cận xiên ta chỉ cần chia tử cho mẫu được đa thức thương  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu thức có nghiệm (nếu cần) và tính các nghiệm  của mẫu thức.

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:

Hàm số có một (hai, ba,…) tiệm cận đứng nếu mẫu thức có một (hai, ba,…) nghiệm không là nghiệm của tử thức.

– Bước 3: Thay các nghiệm  lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.

Nếu bài chỉ yêu cầu có tiệm cận đứng thì ta chỉ cần một nghiệm của mẫu không phải nghiệm của tử là đủ.

 

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 3. Phương pháp giải bài toán cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản

Bài 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 6. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm đa thức bậc ba)

Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức (hàm bậc bốn trùng phương)

Bài 9. Một số bài toán về khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Bài 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm phân thức hữu tỷ)

Bài 11. Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Bài 12. Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị

Bài 13. Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong

Ôn tập chương 1

You may also like...

1 Response

  1. duongtuananh viết:

    chỗ nhận xét của dạng 3 bị sai,bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu là 1 chứ ko phải 11
    dạng 4 chỗ bước 2 chưa thật sự chuẩn

Trả lời