ÔN TẬP CHƯƠNG 2

I. CÁC QUY TẮC ĐẾM

1. Quy tắc cộng

a) Định nghĩa

Xét một công việc \(H\).

Giả sử \(H\) có \(k\) phương án \({H_1},{H_2},…,{H_k}\) thực hiện công việc \(H\). Nếu có \({m_1}\) cách thực hiện phương án  \({H_1}\), có \({m_2}\) cách thực hiện phương án \({H_2}\),.., có \({m_k}\) cách thực hiện phương án \({H_k}\) và mỗi cách thực hiện phương án \({H_i}\) không trùng với bất kì cách thực hiện phương án \({H_j}\) (\(i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,…,k} \right\}\)) thì có \({m_1} + {m_2} + … + {m_k}\) cách thực hiện công việc \(H\).

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập \({A_1},{A_2},…,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + … + \left| {{A_n}} \right|\)

2. Quy tắc nhân

a) Định nghĩa

Giả sử một công việc \(H\) bao gồm \(k\) công đoạn \({H_1},{H_2},…,{H_k}\). Công đoạn \({H_1}\) có \({m_1}\) cách thực hiện, công đoạn\({H_2}\) có \({m_2}\) cách thực hiện,…, công đoạn \({H_k}\) có \({m_k}\) cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo \({m_1}.{m_2}…{m_k}\) cách.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập \({A_1},{A_2},…,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap … \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|…..\left| {{A_n}} \right|\).

II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.A.

Kí hiệu số hoán vị của nn phần tử là \({P_n}\).

b) Số hoán vị của tập n phần tử

Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa: Cho tập AA gồm nn phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của AA và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của AA.

b) Số chỉnh hợp

Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử

Định lí: Ta có \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n – k)!}}\).

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa: Cho tập AAnn phần tử và số nguyên kk với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con của AAkk phần tử được gọi là một tổ hợp chập kk của nn phần tử của A.A.

b) Số tổ hợp

Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập kk của nn phần tử.

Định lí: Ta có: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n – k)!k!}}\).

III. NHỊ THỨC NEWTON

1. Nhị thức Newton

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \)

\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

Nhận xét: Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

* Gồm có \(n + 1\) số hạng

* Số mũ của aa giảm từ nn đến 00 và số mũ của bb tăng từ 00 đến nn

* Tổng các số mũ của aabb trong mỗi số hạng bằng nn

* Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n – k}\)

* Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n – k}}{b^k}\)

Một số hệ quả

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* \(C_n^k = C_n^{n – k}\)

* \(C_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n = {2^n}\)

* \(C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 – … + {( – 1)^n}C_n^n = 0\)

* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k – 1}}  = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k} \)

* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}}  = {(1 + a)^n}\).

IV. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. Biến cố

Không gian mẫu Ω\Omega : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Biến cố \(A\) : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra AA. AΩ.

Biến cố không: \emptyset

Biến cố chắc chắn: Ω\Omega

Biến cố đối của AA : \(\overline A = \Omega \backslash A\)

Hợp hai biến cố: ABA \cup B

Giao hai biến cố: ABA \cap B  (hoặc A.BA.B )

Hai biến cố xung khắc: AB=A \cap B{\rm{ }} = \emptyset

Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

2. Xác suất

Xác suất của biến cố: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)

0PA1,PΩ=1,P =00 \le P\left( A \right) \le 1,P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \emptyset  \right) = 0

Qui tắc cộng: Nếu AB=A \cap B = \emptyset thì PAB=PA+PBP\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)

Mở rộng: A,BA,B bất kì: PAB=PA+PBPA.BP\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)-P\left( {A.B} \right)

\(P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)\)

Qui tắc nhân: Nếu A,BA,B độc lập thì PA.B=PA.PBP\left( {A.{\rm{ }}B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)

You may also like...

1 Response

Trả lời