TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
1. Tổng hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ . Từ điểm A tùy ý vẽ rồi từ B vẽ .
Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ .
Kí hiệu
b) Tính chất
+ Giao hoán :
+ Kết hợp :
+ Tính chất vectơ – không:
2. Các quy tắc
Quy tắc ba điểm: Cho tùy ý, ta có :
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì
Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm thì
3. Các điểm đặc biệt
a) Trung điểm
Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra là trung điểm của
b) Trọng tâm
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Chứng minh:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)
Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.
Suy ra \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)
Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)
Do đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)
Vậy \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
Với \(M\) là điểm bất kì thì:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng là trọng tâm của tam giác.