TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ

 

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a;b\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB =a\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a   rồi từ B vẽ BC =b\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b .

Khi đó vectơ AC\overrightarrow {AC} được gọi là tổng của hai vectơ a;b\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b .

Kí hiệu AC =a +b\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b

b) Tính chất

+ Giao hoán : a +b =b +a\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a

+  Kết hợp : a +b+c =a +b +c\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)

+ Tính chất vectơ – không: a +0 =a,a\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a

2. Các quy tắc

Quy tắc ba điểm: Cho A,B,CA,B,C tùy ý, ta có : AB +BC =AC\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}

Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì AB +AD =AC\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}

Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1,A2,...,An{A_1},\,{A_2},\,…,\,{A_n} thì A1A2 +A2A3 +...+An1An =A1An\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  + \overrightarrow {{A_2}{A_3}}  + … + \overrightarrow {{A_{n – 1}}{A_n}}  = \overrightarrow {{A_1}{A_n}}

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra II là trung điểm của ABAB

b) Trọng tâm

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \).

Chứng minh:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)

Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)

Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)

Vậy \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Với \(M\) là điểm bất kì thì:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng GG là trọng tâm của tam giác.

You may also like...

Trả lời