1. Các định nghĩa

+ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu $A,$ điểm cuối $B$ là \(\overrightarrow {AB} \).

+ Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

+ Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).

+ Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu \(\vec 0\).

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý:

+) Ta còn sử dụng kí hiệu \(\vec a,\,\,\vec b,\,…\) để biểu diễn vectơ.

+) Qui ước: Vectơ \(\vec 0\) cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+) Mọi vectơ \(\vec 0\) đều bằng nhau.

2. Tổng, hiệu hai véc tơ

a. Tổng của hai vectơ

+) Qui tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$ tuỳ ý, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

+) Qui tắc hình bình hành: Với $ABCD$ là hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

+) Tính chất: \(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\);\(\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)\);\(\vec a + \vec 0 = \vec a\)

b. Hiệu của hai vectơ

+) Vectơ đối của \(\vec a\) là vectơ \(\vec b\) sao cho \(\vec a + \vec b = \vec 0\). Kí hiệu vectơ đối của \(\vec a\) là \( – \vec a\).

+) Vectơ đối của \(\vec 0\) là \(\vec 0\).

+) \(\vec a – \vec b = \vec a + \left( { – \vec b} \right)\).

3. Tích của một véc tơ với một số

*) Cho vectơ \(\vec a\) và số $k\in R.$ \(k\vec a\) là một vectơ được xác định như sau:

+ \(k\vec a\) cùng hướng với \(\vec a\) nếu $k\ge 0,$ \(k\vec a\) ngược hướng với \(\vec a\) nếu $k<0.$

+ \(\left| {k\vec a} \right| = \left| k \right|.\left| {\vec a} \right|\)

*) Tính chất                                                       

\(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\);

\((k + l)\vec a = k\vec a + l\vec a\);

\(k\left( {l\vec a} \right) = (kl)\vec a\)

\(k\vec a = \vec 0\) $\iff k=0$ hoặc \(\vec a = \vec 0\).

*) Điều kiện để hai vectơ cùng phương

\(\vec a\) và \(\vec b\left( { \ne \vec 0} \right)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}:\vec b = k\vec a\)

*) Điều kiện ba điểm thẳng hàng

$A,B,C$ thẳng hàng \( \Leftrightarrow k \ne 0:\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \).

*) Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec a,\,\vec b\) và \(\vec x\) tuỳ ý. Khi đó \(\exists !m,n \in \mathbb{R}:\vec x = m\vec a + n\vec b\)

Chú ý:

+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng

$M$ là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM} \) ($O$ tuỳ ý).

+) Hệ thức trọng tâm tam giác

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\iff$ \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\)  \(\Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \) ($O$ tuỳ ý).

4. Hệ trục tọa độ

a. Tọa độ điểm

Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) gọi là tọa độ của điểm $M,$ kí hiệu là \(M = \left( {x;y} \right)\) hay \(M\left( {x;y} \right)\).  $x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của điểm $M.$

Tọa độ trung điểm, trọng tâm tam giác

    + Cho \(A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B})\) và $M$ là trung điểm $AB.$ Tọa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là  $x_M={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}, y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}$

    + Cho tam giác \(ABC\) có \(A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B}),\,\,C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác \(ABC\) là $x_G={\displaystyle \frac{x_A+x_B+x_C}{3}}$  và  $y_G={\displaystyle \frac{y_A+y_B+y_C}{3}}$

b. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho $\overrightarrow{u} =(x;y)$ ;$\overrightarrow{u‘} =(x‘;y‘)$ và số thực $k.$ Khi đó ta có :

   1) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {u’}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’\\y = y’\end{array} \right.\)

   2) $\overrightarrow{u} \pm \overrightarrow{v} =(x\pm x‘;y\pm y‘)$

   3) $k.\overrightarrow{u} =(kx;ky)$

   4) $\overrightarrow{u‘}$ cùng phương $\overrightarrow{u}$($\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0}$) khi và chỉ khi có số $k$ sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = kx\\y’ = ky\end{array} \right.\)

   5) Cho \(A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B})\) thì  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)\)