BẤT ĐẲNG THỨC

 

1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy)

a) Với a0;b0\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0 thì ta có: a+b2ab.\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} .

Dấu =” = ” xảy ra khi và chỉ khi a=b.a = b.

b) Với a0;b0;c0\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0;{\rm{ }}c \ge 0 thì ta có: a+b+c3abc3.\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}.

Dấu =” = ” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.a = b = c.

3. Bất đẳng thức Bunhia – Copxki (Cauchy Schwarz)

a) x;y;a;b\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R} thì:

+) (a.x+b.y)2(a2+b2)(x2+y2){(a.x + b.y)^2} \le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})

+) a.x+b.y(a2+b2)(x2+y2)·\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} \cdot

Dấu =” = ” xảy ra khi xa=yb,(a;b0).\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b},{\rm{ }}(a;{\rm{ }}b \ne 0).

b) x;y;z;a;b;c\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c \in \mathbb{R} thì:

+) (a.x+b.y+c.z)2{(a.x + b.y + c.z)^2} (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)\le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})

+) a.x+b.y+c.z\left| {a.x + b.y + c.z} \right| (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)\le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}

Dấu =” = ” xảy ra khi và chỉ khi xa=yb=zc(a;b;c0).\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}(a;b;c \ne 0).

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Với \(\forall x \in R\) ta có: \(\left| x \right| \ge 0,\left| x \right| \ge x,\left| x \right| \ge – x\)

b) Với \(a > 0\) thì:

+) xa axa\left| x \right| \le a \Leftrightarrow  – a \le x \le a.

+) xax a\left| x \right| \ge a \Leftrightarrow x \le  – a hoặc xax \ge a

c) Với \(a,b \in R\) thì aba+ba+b\left| a \right| – \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|

You may also like...

Trả lời